考試要求

    考生應(yīng)按本大綱的要求，掌握“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何的基本概念、基本理論和基本方法?？忌鷳?yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的聯(lián)系；具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法進(jìn)行推理、證明和計(jì)算；能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

考試內(nèi)容

一、函數(shù)、極限和連續(xù)

(一)函數(shù)

1．理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值，會(huì)作出一些簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。

2．掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

3．理解函數(shù)y =ƒ(x)與其反函數(shù)y =ƒ^-1(x)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖像)，會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

4．掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算; 掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

5．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。

6．理解初等函數(shù)的概念。                                                      

7．會(huì)建立一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

(二)極限

1．理解極限的概念(只要求極限的描述性定義)，能根據(jù)極限概念描述函數(shù)的變化趨勢(shì)。理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限。

2．理解極限的唯一性、有界性和保號(hào)性，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3．理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)比較無(wú)窮小量的階(高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限。

4．理解極限存在的兩個(gè)收斂準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則與單調(diào)有界準(zhǔn)則)，掌握兩個(gè)重要極限：

，，

并能用這兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。

(三)連續(xù)

1．理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的概念，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與函數(shù)在該點(diǎn)處極限存在的關(guān)系。會(huì)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性。

2．理解函數(shù)在一點(diǎn)處間斷的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型。

3．理解“一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的”，并會(huì)利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限。

4．掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理(有界性定理)，介值定理(零點(diǎn)存在定理)。會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

(一)導(dǎo)數(shù)與微分

1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)的定義，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

2．會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

3．熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和反函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4．會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法與參數(shù)方程求導(dǎo)法。

5．理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

6．理解函數(shù)微分的概念，掌握微分運(yùn)算法則與一階微分形式不變性，理解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

(二)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．理解羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它們的幾何意義，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

2．掌握洛必達(dá)(L’Hospital)法則，會(huì)用洛必達(dá)法則求“”，“”，“”，“”，“”，“”和“”型未定式的極限。

3．會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明一些簡(jiǎn)單的不等式。

4．理解函數(shù)極值的概念，會(huì)求函數(shù)的極值和最值，會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

5．會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

6．會(huì)求曲線的漸近線(水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線)。

7．會(huì)描繪一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的圖形。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

(一)不定積分

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，理解原函數(shù)存在定理，掌握不定積分的性質(zhì)。

2．熟記基本不定積分公式。

3．掌握不定積分的第一類換元法(“湊”微分法)，第二類換元法(限于三角換元與一些簡(jiǎn)單的根式換元)。

4．掌握不定積分的分部積分法。

5．會(huì)求一些簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的不定積分。

(二)定積分

1．理解定積分的概念與幾何意義, 掌握定積分的基本性質(zhì)。

2．理解變限積分函數(shù)的概念，掌握變限積分函數(shù)求導(dǎo)的方法。

3．掌握牛頓—萊布尼茨(Newton—Leibniz)公式。

4．掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

5．理解無(wú)窮區(qū)間上有界函數(shù)的廣義積分與有限區(qū)間上無(wú)界函數(shù)的瑕積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

6．會(huì)用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

四、無(wú)窮級(jí)數(shù)

(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1．理解級(jí)數(shù)收斂、級(jí)數(shù)發(fā)散的概念和級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件。

2．熟記幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)和p—級(jí)數(shù)的斂散性。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法與比值審斂法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。

3．理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念。會(huì)用萊布尼茨(Leibnitz) 判別法判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性。

(二)冪級(jí)數(shù)

1．理解冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)收斂及和函數(shù)的概念。會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間。

2．掌握冪級(jí)數(shù)和、差、積的運(yùn)算。

3．掌握冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)：和函數(shù)是連續(xù)的、和函數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)及和函數(shù)可逐項(xiàng)積分。

4．熟記e^x，sinx，cosx，ln(1+x)，的麥克勞林(Maclaurin)級(jí)數(shù)，會(huì)將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為x－x₀的冪級(jí)數(shù)。

五、常微分方程

(一)一階常微分方程

1．理解常微分方程的概念，理解常微分方程的階、解、通解、初始條件和特解的概念。

2．掌握可分離變量微分方程與齊次方程的解法。

3．會(huì)求解一階線性微分方程。

(二)二階常系數(shù)線性微分方程

1．理解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

2．會(huì)求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程。

3．會(huì)求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(非齊次項(xiàng)限定為(Ⅰ) f(x)，其中為x的n次多項(xiàng)式,為實(shí)常數(shù)；(Ⅱ)，其中，為實(shí)常數(shù)，，分別為x的n次，m次多項(xiàng)式)。

六、向量代數(shù)與空間解析幾何

(一)向量代數(shù)

1．理解向量的概念，掌握向量的表示法，會(huì)求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在軸上的投影。

2．掌握向量的線性運(yùn)算(加法運(yùn)算與數(shù)量乘法運(yùn)算)，會(huì)求向量的數(shù)量積與向量積。

3．會(huì)求兩個(gè)非零向量的夾角，掌握兩個(gè)非零向量平行、垂直的充分必要條件。

(二)平面與直線

1．會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程與一般式方程。會(huì)判定兩個(gè)平面的位置關(guān)系。

2．會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

3．會(huì)求直線的點(diǎn)向式方程、一般式方程和參數(shù)式方程。會(huì)判定兩條直線的位置關(guān)系。

4．會(huì)求點(diǎn)到直線的距離，兩條異面直線之間的距離。

5．會(huì)判定直線與平面的位置關(guān)系。

試卷結(jié)構(gòu)

試卷總分：150分

考試時(shí)間：120分鐘

試卷內(nèi)容比例：

函數(shù)、極限和連續(xù)                            約20%

一元函數(shù)微分學(xué)                              約30%

一元函數(shù)積分學(xué)                              約30%

無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程　　　　　　　　　　　　　 約15%

向量代數(shù)與空間解析幾何　　　　　　　　　　　　 約5%

試卷題型分值分布：

選擇題共 30題， 每小題2分，總分60分；

填空題共10題，  每小題2分，總分20分；                                     

計(jì)算題共 10題， 每小題5分，總分50分；                                    

應(yīng)用題共 2題，  每小題7分，總分14分；

證明題共1題，  每小題6分， 總分6分。