數學與應用數學專業(yè)《數學分析》考試大綱

　　一、 考試科目

　　數學分析

　　二、 考試方式

　　筆試、閉卷

　　三、 考試時間

　　120 分鐘

　　四、 試卷結構

　　總分 150 分，其中單項選擇題 15 分，填空題 32 分，計算題 67 分，證明題 36 分。

　　五、參考教材

　　數學分析. (上、下冊) /華東師范大學數學系編(第四版) .北京： 高等教育出版

　　社， 2010.7

　　六、考試基本要求

　　考生應按本大綱的要求，理解或掌握數學分析中的實數集與函數、數列與函數 極限、函數連續(xù)性、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微分學、多元函 數積分學及級數斂散性的基本概念和基本理論; 理解或掌握上述各部分的基本方法。

　　考生應理解各部分知識結構及知識的內在聯系。

　　考生應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力; 能運用所學知識正確地推理和證明，準確地計算;能綜合運用數學分析中的基本理 論、基本方法分析和解決簡單的實際問題。

　　七、考試范圍

　　第一章 實數集與函數

　　考試內容：

　　1.實數分類、實數的性質(對四則運算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密 性)、絕對值與不等式;

　　2 .區(qū)間、鄰域、數集、確界原理;

　　3 .函數表示法、函數四則運算、復合函數、反函數、初等函數;

　　4 .有界函數、單調函數、奇函數、偶函數、周期函數。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握實數域及性質;

　　2 .掌握絕對值不等式;

　　3 .熟練掌握鄰域、上確界、下確界概念以及確界原理;

　　4 .牢固掌握函數的復合法則、基本初等函數、初等函數及某些特性(單調性、 周期性、奇偶性、有界性等)。

　　第二章 數列極限

　　考試內容：

　　1 .數列極限的定義及其幾何意義、無窮小數列;

　　2 .收斂數列的唯一性、有界性、保號性、不等式性、迫斂性、四則運算法則;

　　3 .單調有界定理、柯西收斂準則。

　　基本要求：

　　1 .理解數列極限的定義;

　　2 .理解收斂數列的若干性質，會求數列極限;

　　3 .掌握數列收斂的條件(單調有界原理、迫斂法則、柯西準則等)。

　　第三章 函數極限

　　考試內容：

　　1 .函數極限的概念，單側極限及其與極限的關系;

　　2.函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、迫斂性、四則運 算法則;

　　3 .函數極限的單調有界定理、歸結原則、柯西準則;

　　4.兩個重要的極限;

　　5 .無窮小量和無窮大量的比較。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握函數極限的概念;

　　2 .掌握函數極限的若干性質;

　　3.掌握函數極限存在的條件(歸結原則， 柯西準則， 左、右極限、單調有界等);

　　4.熟練應用兩個重要的極限;

　　5 .掌握無窮小(大)的定義、性質、階的比較。

　　第四章 函數的連續(xù)性

　　考試內容：

　　1.函數在一點連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點的概念、間斷點的分類;

　　2.連續(xù)函數的局部有界性、局部保號性， 連續(xù)函數的四則運算及復合函數的連 續(xù)性;

　　3 .閉區(qū)間上連續(xù)函數的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數的連續(xù)性、

　　初等函數的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握 f(x)在x 點連續(xù)的定義和等價定義;

　　2 .熟練掌握間斷點及其分類;

　　3.熟練掌握 f(x)在一點連續(xù)性質及在區(qū)間上連續(xù)性質;

　　4 .熟練掌握初等函數的連續(xù)性。

　　第五章 導數和微分

　　考試內容：

　　1.平面曲線切線與瞬時速度問題、導數定義、單側導數、導數的幾何意義、導 函數;

　　2 .導數的四則運算、反函數的導數、復合函數的導數;

　　3.微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變性、近似計算與誤差估計;

　　4 .高階導數與高階微分、參數方程和隱函數求導法。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握導數的定義，理解幾何、物理意義;

　　2 .掌握并熟練應用求導法則、求導公式;

　　3.會求各類函數(復合函數、參變量函數、隱函數、冪指函數) 的導數和部分 函數的高階導數(萊布尼茨公式);

　　4.掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算;

　　5 .掌握一元函數連續(xù)、可導、可微之間的關系。

　　第六章 微分中值定理及應用

　　考試內容：

　　1 .費馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

　　2 .各個類型不定式極限;

　　3 .函數的單調性與極值;

　　4.函數的凸凹性與拐點;

　　5 .函數圖象的討論。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握微分中值定理;

　　2 .會運用洛必達法則求極限;

　　3 .會求函數的單調區(qū)間、極值等;

　　4.掌握凸函數概念及性質，利用導數定義判定凹凸性及拐點;

　　5 .能通過一定的計算進行函數圖象的討論。

　　第八章 不定積分

　　考試內容：

　　1 .原函數、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運算法則;

　　2 .第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法;

　　3 .有理函數的積分、三角函數有理式的積分、某些簡單無理函數的積分。

　　基本要求：

　　1 .理解原函數與不定積分的概念，熟練運用基本積分公式;

　　2 .熟練掌握換元積分法、分部積分法;

　　3 .掌握有理函數積分步驟，并會求可化為有理函數的積分。

　　第九章 定積分

　　考試內容：

　　1.定積分的定義、函數的可積條件(必要條件，可積準則， 可積函數類(三個 充分條件));

　　2.定積分的線性性質、積分區(qū)間的可加性、單調性、絕對可積性等性質， 積分 中值定理;

　　3.變上限積分函數概念與性質， 牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法。

　　基本要求：

　　1 .掌握定積分定義、性質、可積條件，會用定義進行一些數列極限的計算;

　　2 .熟練掌握微積分基本定理、積分中值定量，并能夠加以應用;

　　3 .能夠熟練計算定積分;

　　4 .掌握定積分的變換及其一定的應用。

　　第十章 定積分應用

　　考試內容：

　　1 .平面圖形的面積;

　　2 .由截面面積求立體體積、旋轉體體積;

　　3 .曲線的弧長;

　　4.旋轉曲面的面積;

　　5 .微元法思想及應用。

　　基本要求：

　　1 .能熟練計算各種平面圖形面積;

　　2 .會由截面面積求立體體積、求旋轉體的體積;

　　3 .會利用定積分求孤長、旋轉體的側面積。

　　第十一章 反常積分

　　考試內容：

　　1 .兩類反常積分的定義;

　　2 .無窮積分的性質與收斂判別;

　　3 .瑕積分的性質與收斂判別。

　　基本要求：

　　1 .掌握無窮積分收斂與發(fā)散的概念，會應用收斂定義和性質計算無窮積分;

　　2 .會用收斂的定義和收斂性判別法判別無窮積分的斂散性;

　　3 .理解瑕積分收斂性定義，會計算某些瑕積分的值;

　　4 .理解瑕積分收斂性的各種判別方法，會運用它們進行斂散性判別。

　　第十二章 數項級數

　　考試內容：

　　1 .數項級數收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂級數的性質;

　　2 .正級數的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法;

　　3 .交錯級數及其它一般級數絕對收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質。

　　基本要求：

　　1.掌握數項級數斂散的定義、性質;

　　2 .熟練掌握正項級數的斂散性判別法;

　　3.掌握交錯級數收斂的差別， 了解其它一般級數絕對收斂、條件收斂與發(fā)散的 概念與性質。

　　第十三章 函數列與函數項級數

　　考試內容：

　　1.函數列的收斂與極限函數、函數項級數收斂與和函數、函數列與函數項級數 的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 M 判別法;

　　2.函數列與函數項級數在一致收斂性條件下極限函數與和函數的連續(xù)性、可積 性(逐項積分)、可微性(逐項微分)。

　　基本要求：

　　1 .理解函數列及函數項級數的收斂與一致收斂定義;

　　2 .掌握函數列、函數項級數一致收斂的判別法;

　　3 .掌握函數列的極限函數、函數項級數的和函數的性質。

　　第十四章 冪級數

　　考試內容：

　　冪級數、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內閉一致收斂性、和函數的連續(xù)性、 可積性(逐項積分)、可微性(逐項微分)。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握冪級數收斂域，收斂半徑及和函數的求法;

　　2 .了解冪級數的若干性質;

　　3.了解求一般任意階可微函數的冪級數展開式的方法， 會利用間接法求一些初 等函數的冪級數展式。

　　第十五章 傅里葉級數

　　考試內容：

　　三角級數、三角函數系的正交性、收斂定理、以 2π為周期的函數的傅立葉級數 展開式，以及其特殊的正弦或余弦級數展開式。

　　基本要求：

　　1.熟記傅里葉系數公式，并會求以 2 π為周期的傅立葉級數;

　　2.會求以 2 π為周期的函數的正弦或余弦級數展開式。

　　第十六章 多元函數極限與連續(xù)

　　考試內容：

　　1 .平面點集的鄰域、內點、外點、界點、聚點、孤立點，開集、閉集、開域、 閉域、區(qū)域;

　　2 .二元函數的概念及幾何表示、任意多元函數的概念;

　　3 .二元函數的極限(重極限、累次極限)的概念、性質、求法及關系;

　　4 .二元連續(xù)函數連續(xù)，閉域上連續(xù)函數的性質。

　　基本要求：

　　1 .了解平面點集的若干概念;

　　2 .掌握二元函數重極限與二次極限的定義、性質，以及二者的關系;

　　3 .掌握二元連續(xù)函數定義，閉域上連續(xù)函數的性質。

　　第十七章 多元函數微分學

　　考試內容：

　　1 .多元函數的可微性、偏導數概念、幾何意義、求法;

　　2 .多元復合函數的偏導數及全微分;

　　3 .空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

　　基本要求：

　　1.熟練掌握多元函數的可微、偏導數的概念、求法， 掌握二元函數連續(xù)、可微、 偏導數以及偏導函數連續(xù)等概念之間關系;

　　2.會計算多元函數的二階、三階偏導數;

　　3 .掌握空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

　　第十八章 隱函數定理及其應用

　　考試內容：

　　1 .隱函數概念、隱函數的導數求法;

　　2 .條件極值概念、會應用拉格朗日乘數法求函數的條件極值。

　　基本要求：

　　1.理解由一個方程確定的隱函數的條件， 隱函數性質， 掌握隱函數的導數(偏 導)求法;

　　2 .掌握條件極值的拉格朗日乘數法。

　　第二十章 曲線積分

　　考試內容：

　　1 .第一型曲線積分的計算;

　　2 .第二型曲線積分的計算。

　　基本要求：

　　1 .掌握兩類曲線積分的概念及計算;

　　2 .了解兩類曲線積分的性質。

　　第二十一章 重積分

　　考試內容：

　　1 .二重積分概念、可積條件、性質;

　　2 .二重積分化為累次積分的計算方法、二重積分的極坐標變換法;

　　3 .格林公式、曲線積分與路線的無關性;

　　4.三重積分概念、性質;

　　5.三重積分化為累次積分的計算方法、三重積分換元法(柱面坐標變換、球面 坐標變換)。

　　基本要求：

　　1 .了解二重積分、三重積分定義與性質;

　　2 .熟練掌握二重積分的計算;

　　3 .掌握格林公式的應用、曲線積分與路線的無關性定理的應用;

　　4.較熟練掌握三重積分的計算。

　　第二十二章 曲面積分

　　考試內容：

　　1 .第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質及計算;

　　2 .高斯公式與斯托克斯公式的應用。

　　基本要求：

　　1 .掌握兩類曲面積分的概念及計算;

　　2 .了解兩類曲面積分的性質;

　　3 .理解兩類曲面積分的關系;

　　4 .掌握高斯公式和斯托克斯公式。

資料來源：http://jwc.hjnu.edu.cn/info/1118/5274.htm