數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

　　一、 考試科目

　　數(shù)學(xué)分析

　　二、 考試方式

　　筆試、閉卷

　　三、 考試時(shí)間

　　120 分鐘

　　四、 試卷結(jié)構(gòu)

　　總分 150 分，其中單項(xiàng)選擇題 15 分，填空題 32 分，計(jì)算題 67 分，證明題 36 分。

　　五、參考教材

　　數(shù)學(xué)分析. (上、下冊) /華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編(第四版) .北京： 高等教育出版

　　社， 2010.7

　　六、考試基本要求

　　考生應(yīng)按本大綱的要求，理解或掌握數(shù)學(xué)分析中的實(shí)數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列與函數(shù) 極限、函數(shù)連續(xù)性、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函 數(shù)積分學(xué)及級(jí)數(shù)斂散性的基本概念和基本理論; 理解或掌握上述各部分的基本方法。

　　考生應(yīng)理解各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

　　考生應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力; 能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)正確地推理和證明，準(zhǔn)確地計(jì)算;能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理 論、基本方法分析和解決簡單的實(shí)際問題。

　　七、考試范圍

　　第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　1.實(shí)數(shù)分類、實(shí)數(shù)的性質(zhì)(對(duì)四則運(yùn)算的封閉性、有序性、阿基米德性、稠密 性)、絕對(duì)值與不等式;

　　2 .區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理;

　　3 .函數(shù)表示法、函數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、初等函數(shù);

　　4 .有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握實(shí)數(shù)域及性質(zhì);

　　2 .掌握絕對(duì)值不等式;

　　3 .熟練掌握鄰域、上確界、下確界概念以及確界原理;

　　4 .牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)及某些特性(單調(diào)性、 周期性、奇偶性、有界性等)。

　　第二章 數(shù)列極限

　　考試內(nèi)容：

　　1 .數(shù)列極限的定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列;

　　2 .收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算法則;

　　3 .單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。

　　基本要求：

　　1 .理解數(shù)列極限的定義;

　　2 .理解收斂數(shù)列的若干性質(zhì)，會(huì)求數(shù)列極限;

　　3 .掌握數(shù)列收斂的條件(單調(diào)有界原理、迫斂法則、柯西準(zhǔn)則等)。

　　第三章 函數(shù)極限

　　考試內(nèi)容：

　　1 .函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系;

　　2.函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn) 算法則;

　　3 .函數(shù)極限的單調(diào)有界定理、歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則;

　　4.兩個(gè)重要的極限;

　　5 .無窮小量和無窮大量的比較。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握函數(shù)極限的概念;

　　2 .掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì);

　　3.掌握函數(shù)極限存在的條件(歸結(jié)原則， 柯西準(zhǔn)則， 左、右極限、單調(diào)有界等);

　　4.熟練應(yīng)用兩個(gè)重要的極限;

　　5 .掌握無窮小(大)的定義、性質(zhì)、階的比較。

　　第四章 函數(shù)的連續(xù)性

　　考試內(nèi)容：

　　1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)(左、右連續(xù))及間斷點(diǎn)的概念、間斷點(diǎn)的分類;

　　2.連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號(hào)性， 連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連 續(xù)性;

　　3 .閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值性、介值性、根的存在性定理，反函數(shù)的連續(xù)性、

　　初等函數(shù)的連續(xù)性、一致連續(xù)性。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握 f(x)在x 點(diǎn)連續(xù)的定義和等價(jià)定義;

　　2 .熟練掌握間斷點(diǎn)及其分類;

　　3.熟練掌握 f(x)在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)性質(zhì);

　　4 .熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。

　　第五章 導(dǎo)數(shù)和微分

　　考試內(nèi)容：

　　1.平面曲線切線與瞬時(shí)速度問題、導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo) 函數(shù);

　　2 .導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

　　3.微分的概念、微分的四則運(yùn)算、一階微分形式不變性、近似計(jì)算與誤差估計(jì);

　　4 .高階導(dǎo)數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，理解幾何、物理意義;

　　2 .掌握并熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式;

　　3.會(huì)求各類函數(shù)(復(fù)合函數(shù)、參變量函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)) 的導(dǎo)數(shù)和部分 函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(萊布尼茨公式);

　　4.掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算;

　　5 .掌握一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。

　　第六章 微分中值定理及應(yīng)用

　　考試內(nèi)容：

　　1 .費(fèi)馬定理、羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

　　2 .各個(gè)類型不定式極限;

　　3 .函數(shù)的單調(diào)性與極值;

　　4.函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn);

　　5 .函數(shù)圖象的討論。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握微分中值定理;

　　2 .會(huì)運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限;

　　3 .會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等;

　　4.掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)定義判定凹凸性及拐點(diǎn);

　　5 .能通過一定的計(jì)算進(jìn)行函數(shù)圖象的討論。

　　第八章 不定積分

　　考試內(nèi)容：

　　1 .原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性運(yùn)算法則;

　　2 .第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法;

　　3 .有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡單無理函數(shù)的積分。

　　基本要求：

　　1 .理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟練運(yùn)用基本積分公式;

　　2 .熟練掌握換元積分法、分部積分法;

　　3 .掌握有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的積分。

　　第九章 定積分

　　考試內(nèi)容：

　　1.定積分的定義、函數(shù)的可積條件(必要條件，可積準(zhǔn)則， 可積函數(shù)類(三個(gè) 充分條件));

　　2.定積分的線性性質(zhì)、積分區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對(duì)可積性等性質(zhì)， 積分 中值定理;

　　3.變上限積分函數(shù)概念與性質(zhì)， 牛頓-萊布尼茨公式、換元積分法、分部積分法。

　　基本要求：

　　1 .掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，會(huì)用定義進(jìn)行一些數(shù)列極限的計(jì)算;

　　2 .熟練掌握微積分基本定理、積分中值定量，并能夠加以應(yīng)用;

　　3 .能夠熟練計(jì)算定積分;

　　4 .掌握定積分的變換及其一定的應(yīng)用。

　　第十章 定積分應(yīng)用

　　考試內(nèi)容：

　　1 .平面圖形的面積;

　　2 .由截面面積求立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積;

　　3 .曲線的弧長;

　　4.旋轉(zhuǎn)曲面的面積;

　　5 .微元法思想及應(yīng)用。

　　基本要求：

　　1 .能熟練計(jì)算各種平面圖形面積;

　　2 .會(huì)由截面面積求立體體積、求旋轉(zhuǎn)體的體積;

　　3 .會(huì)利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

　　第十一章 反常積分

　　考試內(nèi)容：

　　1 .兩類反常積分的定義;

　　2 .無窮積分的性質(zhì)與收斂判別;

　　3 .瑕積分的性質(zhì)與收斂判別。

　　基本要求：

　　1 .掌握無窮積分收斂與發(fā)散的概念，會(huì)應(yīng)用收斂定義和性質(zhì)計(jì)算無窮積分;

　　2 .會(huì)用收斂的定義和收斂性判別法判別無窮積分的斂散性;

　　3 .理解瑕積分收斂性定義，會(huì)計(jì)算某些瑕積分的值;

　　4 .理解瑕積分收斂性的各種判別方法，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行斂散性判別。

　　第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　1 .數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì);

　　2 .正級(jí)數(shù)的收斂原則、比較原則、比式判別法、根式判別法、積分判別法;

　　3 .交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其它一般級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質(zhì)。

　　基本要求：

　　1.掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的定義、性質(zhì);

　　2 .熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法;

　　3.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的差別， 了解其它一般級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、條件收斂與發(fā)散的 概念與性質(zhì)。

　　第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　1.函數(shù)列的收斂與極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與和函數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的一致收斂性、一致收斂柯西準(zhǔn)則、 M 判別法;

　　2.函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂性條件下極限函數(shù)與和函數(shù)的連續(xù)性、可積 性(逐項(xiàng)積分)、可微性(逐項(xiàng)微分)。

　　基本要求：

　　1 .理解函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂定義;

　　2 .掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法;

　　3 .掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì)。

　　第十四章 冪級(jí)數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　冪級(jí)數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、內(nèi)閉一致收斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、 可積性(逐項(xiàng)積分)、可微性(逐項(xiàng)微分)。

　　基本要求：

　　1 .熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂域，收斂半徑及和函數(shù)的求法;

　　2 .了解冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì);

　　3.了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的方法， 會(huì)利用間接法求一些初 等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。

　　第十五章 傅里葉級(jí)數(shù)

　　考試內(nèi)容：

　　三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 2π為周期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) 展開式，以及其特殊的正弦或余弦級(jí)數(shù)展開式。

　　基本要求：

　　1.熟記傅里葉系數(shù)公式，并會(huì)求以 2 π為周期的傅立葉級(jí)數(shù);

　　2.會(huì)求以 2 π為周期的函數(shù)的正弦或余弦級(jí)數(shù)展開式。

　　第十六章 多元函數(shù)極限與連續(xù)

　　考試內(nèi)容：

　　1 .平面點(diǎn)集的鄰域、內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)，開集、閉集、開域、 閉域、區(qū)域;

　　2 .二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念;

　　3 .二元函數(shù)的極限(重極限、累次極限)的概念、性質(zhì)、求法及關(guān)系;

　　4 .二元連續(xù)函數(shù)連續(xù)，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

　　基本要求：

　　1 .了解平面點(diǎn)集的若干概念;

　　2 .掌握二元函數(shù)重極限與二次極限的定義、性質(zhì)，以及二者的關(guān)系;

　　3 .掌握二元連續(xù)函數(shù)定義，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

　　第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

　　考試內(nèi)容：

　　1 .多元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)概念、幾何意義、求法;

　　2 .多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分;

　　3 .空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

　　基本要求：

　　1.熟練掌握多元函數(shù)的可微、偏導(dǎo)數(shù)的概念、求法， 掌握二元函數(shù)連續(xù)、可微、 偏導(dǎo)數(shù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念之間關(guān)系;

　　2.會(huì)計(jì)算多元函數(shù)的二階、三階偏導(dǎo)數(shù);

　　3 .掌握空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線。

　　第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

　　考試內(nèi)容：

　　1 .隱函數(shù)概念、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法;

　　2 .條件極值概念、會(huì)應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條件極值。

　　基本要求：

　　1.理解由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件， 隱函數(shù)性質(zhì)， 掌握隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(偏 導(dǎo))求法;

　　2 .掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

　　第二十章 曲線積分

　　考試內(nèi)容：

　　1 .第一型曲線積分的計(jì)算;

　　2 .第二型曲線積分的計(jì)算。

　　基本要求：

　　1 .掌握兩類曲線積分的概念及計(jì)算;

　　2 .了解兩類曲線積分的性質(zhì)。

　　第二十一章 重積分

　　考試內(nèi)容：

　　1 .二重積分概念、可積條件、性質(zhì);

　　2 .二重積分化為累次積分的計(jì)算方法、二重積分的極坐標(biāo)變換法;

　　3 .格林公式、曲線積分與路線的無關(guān)性;

　　4.三重積分概念、性質(zhì);

　　5.三重積分化為累次積分的計(jì)算方法、三重積分換元法(柱面坐標(biāo)變換、球面 坐標(biāo)變換)。

　　基本要求：

　　1 .了解二重積分、三重積分定義與性質(zhì);

　　2 .熟練掌握二重積分的計(jì)算;

　　3 .掌握格林公式的應(yīng)用、曲線積分與路線的無關(guān)性定理的應(yīng)用;

　　4.較熟練掌握三重積分的計(jì)算。

　　第二十二章 曲面積分

　　考試內(nèi)容：

　　1 .第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算;

　　2 .高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用。

　　基本要求：

　　1 .掌握兩類曲面積分的概念及計(jì)算;

　　2 .了解兩類曲面積分的性質(zhì);

　　3 .理解兩類曲面積分的關(guān)系;

　　4 .掌握高斯公式和斯托克斯公式。

資料來源：http://jwc.hjnu.edu.cn/info/1118/5274.htm