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一、考試科目
數(shù)學分析
二、考試方式
閉卷、筆試
三、考試時間
120 分鐘
四、試卷總分
150 分
五、參考書目
《數(shù)學分析》（上、下冊），華東師范大學數(shù)學科學學院 編，高等教育出版社，2019 年 5 月第 5 版。
六、考試基本要求
考生應(yīng)按本大綱的要求，理解或掌握數(shù)學分析中的實數(shù) 集與函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、一元函數(shù)微分學、 一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學及級數(shù) 斂散性的基本概念和基本理論；理解或掌握上述各部分的基 本方法；理解各部分知識結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系。
考生應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算 能力和空間想象能力；能運用所學知識正確地推理和證明， 準確地計算；能綜合運用數(shù)學分析中的基本理論、基本方法 分析和解決簡單的實際問題。
七、考試范圍
第一章 實數(shù)集與函數(shù)
考試內(nèi)容：
1． 實數(shù)分類、實數(shù)的性質(zhì)（ 四則運算的封閉性、有序 性、阿基米德性、稠密性）、絕對值與不等式；
2． 區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；
3． 函數(shù)表示法、 函數(shù)四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、 初等函數(shù)；
4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)。
基本要求：
1． 熟練掌握實數(shù)域及性質(zhì)；
2．掌握絕對值不等式；
3． 熟練掌握鄰域、上確界、下確界的概念以及確界原 理；
4．牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函 數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章 數(shù)列極限
考試內(nèi)容：
1．數(shù)列極限的定義及其幾何意義、無窮小數(shù)列；
2． 收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號性、不等式性、 迫斂性、 四則運算法則；
3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準則。
基本要求：
1．理解數(shù)列極限的定義；
2．理解收斂數(shù)列的若干性質(zhì)，熟練掌握數(shù)列極限的計
算方法；
3． 掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界定理、柯西收斂準 則等）。
第三章 函數(shù)極限
考試內(nèi)容：
1． 函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系；
2． 函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、不 等式性、迫斂性、 四則運算法則；
3． 函數(shù)極限的歸結(jié)原則、柯西準則；
4．兩個重要的極限；
5．無窮小量與無窮大量。
基本要求：
1． 熟練掌握函數(shù)極限的概念與計算方法；
2．掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；
3．掌握函數(shù)極限存在的條件（ 歸結(jié)原則，柯西準則）；
4． 熟練應(yīng)用兩個重要的極限；
5． 掌握無窮?。?大）量的定義、性質(zhì)、 階的比較，掌 握曲線漸近線的求法。
第四章 函數(shù)的連續(xù)性
考試內(nèi)容：
1． 函數(shù)在一點連續(xù)（ 左、右連續(xù)）及間斷點的概念、 間斷點的分類；
2．連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號性，連續(xù)函數(shù)的 四則運算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；
3． 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理，有界性定 理，介值性定理，根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函 數(shù)的連續(xù)性及一致連續(xù)性。
基本要求：
1． 熟練掌握f (x)在x 點連續(xù)的定義和等價定義；
2． 熟練掌握間斷點及其分類；
3． 熟練掌握f (x)在一點連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)；
4． 熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。
第五章 導數(shù)和微分
考試內(nèi)容：
1．導數(shù)定義、單側(cè)導數(shù)、導數(shù)的幾何意義、導函數(shù)；
2．導數(shù)的四則運算、反函數(shù)的導數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導數(shù)；
3．微分的概念、微分的四則運算、一階微分形式不變 性、近似計算與誤差估計；
4．高階導數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導法。
基本要求：
1． 熟練掌握導數(shù)的定義，理解幾何、物理意義；
2．掌握并熟練應(yīng)用求導法則、求導公式；
3．會求各類函數(shù)（ 復(fù)合函數(shù)、參變量函數(shù)、隱函數(shù)、 冪指函數(shù)）的導數(shù)和部分函數(shù)的高階導數(shù)（萊布尼茨公式）；
4．掌握微分的概念，并會用微分進行近似計算；
5．掌握一元函數(shù)連續(xù)、可導、可微之間的關(guān)系；
6. 掌握費馬定理，穩(wěn)定點與極值點的關(guān)系。
第六章 微分中值定理及應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1．羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
2．各個類型不定式極限；
3． 函數(shù)的單調(diào)性與極值；
4． 函數(shù)的凸凹性與拐點；
5． 函數(shù)圖象的討論。
基本要求：
1． 熟練掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西 中值定理；
2．會運用洛必達法則求極限；
3．會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等；
4． 掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)，利用導數(shù)定義判定凹凸性 及拐點。
第八章 不定積分
考試內(nèi)容：
1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線性 運算法則；
2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；
3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡 單無理函數(shù)的積分。
基本要求：
1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟練運用基本積分 公式；
2． 熟練掌握換元積分法、分部積分法；
3． 掌握有理函數(shù)積分步驟，并會求可化為有理函數(shù)的 積分。
第九章 定積分
考試內(nèi)容：
1．定積分的定義、 函數(shù)的可積條件（ 必要條件，可積 準則，可積函數(shù)類（ 三個充分條件））；
2．定積分的線性性質(zhì)、 區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對 可積性等性質(zhì)，積分中值定理；
3． 變上限積分函數(shù)概念與性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式、 換元積分法、分部積分法。
基本要求：
1． 掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，會用定積分的 定義進行一些數(shù)列極限的計算；
2． 熟練掌握微積分基本定理、積分中值定理，并能夠 加以應(yīng)用；
3． 能夠熟練計算定積分；
4．掌握定積分的變換及其一定的應(yīng)用。
第十章 定積分應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1．平面圖形的面積；
2． 由截面面積求立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積；
3． 曲線的弧長；
4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積；
5．微元法思想及應(yīng)用。
基本要求：
1． 能熟練計算各種平面圖形面積；
2．會由截面面積求立體體積， 以及旋轉(zhuǎn)體的體積；
3．會利用定積分求孤長、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。
第十二章 數(shù)項級數(shù)
考試內(nèi)容：
1．數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準則，收斂 級數(shù)的性質(zhì)；
2．正級數(shù)的收斂原則、 比較原則、 比式判別法、根式 判別法、積分判別法；
3． 交錯級數(shù)及其它一般級數(shù)絕對收斂、條件收斂與發(fā) 散的概念與性質(zhì)。
基本要求：
1．掌握數(shù)項級數(shù)斂散的定義、性質(zhì)；
2． 熟練掌握正項級數(shù)的斂散性判別法；
3． 掌握交錯級數(shù)收斂的差別， 了解其它一般級數(shù)絕對 收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質(zhì)。
第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)
考試內(nèi)容：
1． 函數(shù)列的收斂與極限函數(shù)、 函數(shù)項級數(shù)收斂與和函 數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準則、 M 判別法；
2． 函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)在一致收斂性條件下極限函數(shù)
與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項積分）、可微性（逐項微 分）。
基本要求：
1．理解函數(shù)列及函數(shù)項級數(shù)的收斂與一致收斂定義；
2．掌握函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法；
3． 掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的性 質(zhì)。
第十四章 冪級數(shù)
考試內(nèi)容：
冪級數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、 內(nèi)閉一致收 斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項積分）、可微性（逐 項微分）。
基本要求：
1．熟練掌握冪級數(shù)收斂域，收斂半徑及和函數(shù)的求法；
2． 了解冪級數(shù)的若干性質(zhì)；
3． 了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級數(shù)展開式的方法， 會利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展式。
第十五章 傅里葉級數(shù)
考試內(nèi)容：
三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 2兀為周 期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式，以及其特殊的正弦或余弦級 數(shù)展開式。
基本要求：
1． 熟記傅里葉系數(shù)公式，并會求以2兀為周期的傅立葉
級數(shù)；
2．會求以2π為周期的函數(shù)的正弦或余弦級數(shù)展開式。
第十六章 多元函數(shù)極限與連續(xù)
考試內(nèi)容：
1．平面點集的鄰域、 內(nèi)點、外點、界點、聚點、孤立 點，開集、閉集、開域、閉域、 區(qū)域；
2．二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念；
3． 二元函數(shù)的極限（ 重極限、累次極限） 的概念、性 質(zhì)、求法及關(guān)系；
4．二元連續(xù)函數(shù)連續(xù)，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
基本要求：
1． 了解平面點集的若干概念；
2． 掌握二元函數(shù)重極限與二次極限的定義、性質(zhì)， 以 及二者的關(guān)系；會求二元函數(shù)的極限；
3．掌握二元連續(xù)函數(shù)定義，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
第十七章 多元函數(shù)微分學
考試內(nèi)容：
1．多元函數(shù)的可微性、偏導數(shù)概念、幾何意義、求法；
2．多元復(fù)合函數(shù)的偏導數(shù)及全微分；
3． 空間曲線的切線與法平面， 曲面的切平面與法線。
基本要求：
1． 熟練掌握多元函數(shù)的可微、偏導數(shù)的概念、求法， 掌握二元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導數(shù)以及偏導函數(shù)連續(xù)等概念 之間關(guān)系；
2．會計算多元函數(shù)的二階、三階偏導數(shù)；
3． 掌握空間曲線的切線與法平面， 曲面的切平面與法 線。
第十八章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
考試內(nèi)容：
1． 隱函數(shù)概念、隱函數(shù)的導數(shù)求法；
2．條件極值概念、會應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條 件極值。
基本要求：
1．理解由一個方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)， 掌握隱函數(shù)的導數(shù)（偏導）求法；
2．掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。
第二十章 曲線積分
考試內(nèi)容：
1．第一型曲線積分的計算；
2．第二型曲線積分的計算。
基本要求：
1．掌握兩類曲線積分的概念及計算；
2． 了解兩類曲線積分的性質(zhì)。
第二十一章 重積分
考試內(nèi)容：
1．二重積分概念、可積條件、性質(zhì)；
2． 二重積分化為累次積分的計算方法、二重積分的極 坐標變換法；
3．格林公式、 曲線積分與路線的無關(guān)性；
4． 三重積分概念、性質(zhì)；
5． 三重積分化為累次積分的計算方法、三重積分換元 法（柱面坐標變換、球面坐標變換）。
基本要求：
1．理解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)；
2． 熟練掌握二重積分的計算；
3． 掌握格林公式的應(yīng)用、 曲線積分與路線的無關(guān)性定 理的應(yīng)用；
4．較熟練掌握三重積分的計算。
第二十二章 曲面積分
考試內(nèi)容：
1． 第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及 計算；
2．高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用。
基本要求：
1．掌握兩類曲面積分的概念及計算；
2． 了解兩類曲面積分的性質(zhì)；
3．理解兩類曲面積分的關(guān)系；
4．掌握高斯公式和斯托克斯公式并會應(yīng)用。
