一、考試科目

數(shù)學(xué)分析

二、考試方式

閉卷、筆試

三、考試時(shí)間

120 分鐘

四、試卷總分

150 分

五、參考書(shū)目

《數(shù)學(xué)分析》（上、下冊(cè)），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 編，高等教育出版社，2019 年 5 月第 5 版。

六、考試基本要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，理解或掌握數(shù)學(xué)分析中的實(shí)數(shù) 集與函數(shù)、數(shù)列與函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)性、一元函數(shù)微分學(xué)、 一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)及級(jí)數(shù) 斂散性的基本概念和基本理論；理解或掌握上述各部分的基 本方法；理解各部分知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系。

考生應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算 能力和空間想象能力；能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)正確地推理和證明， 準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法 分析和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

七、考試范圍

第一章  實(shí)數(shù)集與函數(shù)

考試內(nèi)容：

1． 實(shí)數(shù)分類(lèi)、實(shí)數(shù)的性質(zhì)（ 四則運(yùn)算的封閉性、有序 性、阿基米德性、稠密性）、絕對(duì)值與不等式；

2． 區(qū)間、鄰域、數(shù)集、確界原理；

3． 函數(shù)表示法、 函數(shù)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、 初等函數(shù)；

4．有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)、周期函數(shù)。

基本要求：

1． 熟練掌握實(shí)數(shù)域及性質(zhì)；

2．掌握絕對(duì)值不等式；

3． 熟練掌握鄰域、上確界、下確界的概念以及確界原 理；

4．牢固掌握函數(shù)的復(fù)合法則、基本初等函數(shù)、初等函 數(shù)及某些特性（單調(diào)性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章  數(shù)列極限

考試內(nèi)容：

1．?dāng)?shù)列極限的定義及其幾何意義、無(wú)窮小數(shù)列；

2． 收斂數(shù)列的唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、 迫斂性、 四則運(yùn)算法則；

3．單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則。

基本要求：

1．理解數(shù)列極限的定義；

2．理解收斂數(shù)列的若干性質(zhì)，熟練掌握數(shù)列極限的計(jì)

算方法；

3． 掌握數(shù)列收斂的條件（單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn) 則等）。

第三章  函數(shù)極限

考試內(nèi)容：

1． 函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限及其與極限的關(guān)系；

2． 函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不 等式性、迫斂性、 四則運(yùn)算法則；

3． 函數(shù)極限的歸結(jié)原則、柯西準(zhǔn)則；

4．兩個(gè)重要的極限；

5．無(wú)窮小量與無(wú)窮大量。

基本要求：

1． 熟練掌握函數(shù)極限的概念與計(jì)算方法；

2．掌握函數(shù)極限的若干性質(zhì)；

3．掌握函數(shù)極限存在的條件（ 歸結(jié)原則，柯西準(zhǔn)則）；

4． 熟練應(yīng)用兩個(gè)重要的極限；

5． 掌握無(wú)窮?。?大）量的定義、性質(zhì)、 階的比較，掌 握曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的求法。

第四章  函數(shù)的連續(xù)性

考試內(nèi)容：

1． 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)（ 左、右連續(xù)）及間斷點(diǎn)的概念、 間斷點(diǎn)的分類(lèi)；

2．連續(xù)函數(shù)的局部有界性、局部保號(hào)性，連續(xù)函數(shù)的 四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；

3． 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大、最小值定理，有界性定 理，介值性定理，根的存在定理，反函數(shù)的連續(xù)性、初等函 數(shù)的連續(xù)性及一致連續(xù)性。

基本要求：

1． 熟練掌握f(shuō) (x)在x 點(diǎn)連續(xù)的定義和等價(jià)定義；

2． 熟練掌握間斷點(diǎn)及其分類(lèi)；

3． 熟練掌握f(shuō) (x)在一點(diǎn)連續(xù)性質(zhì)及在區(qū)間上連續(xù)函數(shù) 的性質(zhì)；

4． 熟練掌握初等函數(shù)的連續(xù)性。

第五章  導(dǎo)數(shù)和微分

考試內(nèi)容：

1．導(dǎo)數(shù)定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)；

2．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

3．微分的概念、微分的四則運(yùn)算、一階微分形式不變 性、近似計(jì)算與誤差估計(jì)；

4．高階導(dǎo)數(shù)與高階微分、參數(shù)方程和隱函數(shù)求導(dǎo)法。

基本要求：

1． 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義，理解幾何、物理意義；

2．掌握并熟練應(yīng)用求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式；

3．會(huì)求各類(lèi)函數(shù)（ 復(fù)合函數(shù)、參變量函數(shù)、隱函數(shù)、 冪指函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)和部分函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)（萊布尼茨公式）；

4．掌握微分的概念，并會(huì)用微分進(jìn)行近似計(jì)算；

5．掌握一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系；

6.    掌握費(fèi)馬定理，穩(wěn)定點(diǎn)與極值點(diǎn)的關(guān)系。

第六章  微分中值定理及應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1．羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2．各個(gè)類(lèi)型不定式極限；

3． 函數(shù)的單調(diào)性與極值；

4． 函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn)；

5． 函數(shù)圖象的討論。

基本要求：

1． 熟練掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西 中值定理；

2．會(huì)運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限；

3．會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等；

4． 掌握凸函數(shù)概念及性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)定義判定凹凸性 及拐點(diǎn)。

第八章  不定積分

考試內(nèi)容：

1．原函數(shù)、不定積分、基本積分表、不定積分的線(xiàn)性 運(yùn)算法則；

2．第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法；

3．有理函數(shù)的積分、三角函數(shù)有理式的積分、某些簡(jiǎn) 單無(wú)理函數(shù)的積分。

基本要求：

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，熟練運(yùn)用基本積分 公式；

2． 熟練掌握換元積分法、分部積分法；

3． 掌握有理函數(shù)積分步驟，并會(huì)求可化為有理函數(shù)的 積分。

第九章  定積分

考試內(nèi)容：

1．定積分的定義、 函數(shù)的可積條件（ 必要條件，可積 準(zhǔn)則，可積函數(shù)類(lèi)（ 三個(gè)充分條件））；

2．定積分的線(xiàn)性性質(zhì)、 區(qū)間的可加性、單調(diào)性、絕對(duì) 可積性等性質(zhì)，積分中值定理；

3． 變上限積分函數(shù)概念與性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式、 換元積分法、分部積分法。

基本要求：

1． 掌握定積分定義、性質(zhì)、可積條件，會(huì)用定積分的 定義進(jìn)行一些數(shù)列極限的計(jì)算；

2． 熟練掌握微積分基本定理、積分中值定理，并能夠 加以應(yīng)用；

3． 能夠熟練計(jì)算定積分；

4．掌握定積分的變換及其一定的應(yīng)用。

第十章  定積分應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1．平面圖形的面積；

2． 由截面面積求立體體積、旋轉(zhuǎn)體體積；

3． 曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)；

4．旋轉(zhuǎn)曲面的面積；

5．微元法思想及應(yīng)用。

基本要求：

1． 能熟練計(jì)算各種平面圖形面積；

2．會(huì)由截面面積求立體體積， 以及旋轉(zhuǎn)體的體積；

3．會(huì)利用定積分求孤長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。

第十二章  數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

1．?dāng)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、和的概念，柯西準(zhǔn)則，收斂 級(jí)數(shù)的性質(zhì)；

2．正級(jí)數(shù)的收斂原則、 比較原則、 比式判別法、根式 判別法、積分判別法；

3． 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其它一般級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂、條件收斂與發(fā) 散的概念與性質(zhì)。

基本要求：

1．掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散的定義、性質(zhì)；

2． 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法；

3． 掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的差別， 了解其它一般級(jí)數(shù)絕對(duì) 收斂、條件收斂與發(fā)散的概念與性質(zhì)。

第十三章  函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

1． 函數(shù)列的收斂與極限函數(shù)、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與和函 數(shù)、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性、一致收斂柯西準(zhǔn)則、 M 判別法；

2． 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂性條件下極限函數(shù)

與和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項(xiàng)積分）、可微性（逐項(xiàng)微 分）。

基本要求：

1．理解函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂定義；

2．掌握函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法；

3． 掌握函數(shù)列的極限函數(shù)、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性 質(zhì)。

第十四章  冪級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

冪級(jí)數(shù)、阿貝爾定理、收斂半徑和收斂域、 內(nèi)閉一致收 斂性、和函數(shù)的連續(xù)性、可積性（逐項(xiàng)積分）、可微性（逐 項(xiàng)微分）。

基本要求：

1．熟練掌握冪級(jí)數(shù)收斂域，收斂半徑及和函數(shù)的求法；

2． 了解冪級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)；

3． 了解求一般任意階可微函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的方法， 會(huì)利用間接法求一些初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展式。

第十五章  傅里葉級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容：

三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性、收斂定理、以 2兀為周 期的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式，以及其特殊的正弦或余弦級(jí) 數(shù)展開(kāi)式。

基本要求：

1． 熟記傅里葉系數(shù)公式，并會(huì)求以2兀為周期的傅立葉

級(jí)數(shù)；

2．會(huì)求以2π為周期的函數(shù)的正弦或余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式。

第十六章  多元函數(shù)極限與連續(xù)

考試內(nèi)容：

1．平面點(diǎn)集的鄰域、 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、孤立 點(diǎn)，開(kāi)集、閉集、開(kāi)域、閉域、 區(qū)域；

2．二元函數(shù)的概念及幾何表示、任意多元函數(shù)的概念；

3． 二元函數(shù)的極限（ 重極限、累次極限） 的概念、性 質(zhì)、求法及關(guān)系；

4．二元連續(xù)函數(shù)連續(xù)，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

基本要求：

1． 了解平面點(diǎn)集的若干概念；

2． 掌握二元函數(shù)重極限與二次極限的定義、性質(zhì)， 以 及二者的關(guān)系；會(huì)求二元函數(shù)的極限；

3．掌握二元連續(xù)函數(shù)定義，閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第十七章  多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：

1．多元函數(shù)的可微性、偏導(dǎo)數(shù)概念、幾何意義、求法；

2．多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分；

3． 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面， 曲面的切平面與法線(xiàn)。

基本要求：

1． 熟練掌握多元函數(shù)的可微、偏導(dǎo)數(shù)的概念、求法， 掌握二元函數(shù)連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)以及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)等概念 之間關(guān)系；

2．會(huì)計(jì)算多元函數(shù)的二階、三階偏導(dǎo)數(shù)；

3． 掌握空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面， 曲面的切平面與法 線(xiàn)。

第十八章  隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

考試內(nèi)容：

1． 隱函數(shù)概念、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法；

2．條件極值概念、會(huì)應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的條 件極值。

基本要求：

1．理解由一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的條件，隱函數(shù)性質(zhì)， 掌握隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)）求法；

2．掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。

第二十章  曲線(xiàn)積分

考試內(nèi)容：

1．第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算；

2．第二型曲線(xiàn)積分的計(jì)算。

基本要求：

1．掌握兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念及計(jì)算；

2． 了解兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)。

第二十一章  重積分

考試內(nèi)容：

1．二重積分概念、可積條件、性質(zhì)；

2． 二重積分化為累次積分的計(jì)算方法、二重積分的極 坐標(biāo)變換法；

3．格林公式、 曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)的無(wú)關(guān)性；

4． 三重積分概念、性質(zhì)；

5． 三重積分化為累次積分的計(jì)算方法、三重積分換元 法（柱面坐標(biāo)變換、球面坐標(biāo)變換）。

基本要求：

1．理解二重積分、三重積分定義與性質(zhì)；

2． 熟練掌握二重積分的計(jì)算；

3． 掌握格林公式的應(yīng)用、 曲線(xiàn)積分與路線(xiàn)的無(wú)關(guān)性定 理的應(yīng)用；

4．較熟練掌握三重積分的計(jì)算。

第二十二章  曲面積分

考試內(nèi)容：

1． 第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念、性質(zhì)及 計(jì)算；

2．高斯公式與斯托克斯公式的應(yīng)用。

基本要求：

1．掌握兩類(lèi)曲面積分的概念及計(jì)算；

2． 了解兩類(lèi)曲面積分的性質(zhì)；

3．理解兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系；

4．掌握高斯公式和斯托克斯公式并會(huì)應(yīng)用。