第一部分：總要求

　　考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學、多元函數微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論;學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算;能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

　　第二部分：考試內容

　　一、 函數、極限與連續(xù)

　　(一)函數

　　1.知識范圍

　　(1)函數的概念：函數的定義、函數的表示法、分段函數、隱函數。

　　(2)函數的簡單性質：單調性、奇偶性、有界性、周期性。

　　(3)反函數：反函數的定義，反函數的圖象。

　　(4)函數的四則運算與復合運算。

　　(5)基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。

　　(6)初等函數。

　　2. 要求

　　(1)理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。了解分段函數的概念。

　　(2)理解函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性。

　　(3)了解函數y=?(x)與其反函數y=?-1(x)之間的關系(定義域、值域、圖象)，會求單調函數的反函數。

　　(4)理解和掌握函數的四則運算與復合運算。

　　(5)掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象。

　　(6)了解初等函數的概念。

　　(7)會建立簡單實際問題的函數關系。

　　(二)極限

　　1.知識范圍

　　(1)數列極限的概念：數列，數列的極限。

　　(2)數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列的極限存在定理。

　　(3)函數極限的概念：函數在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關系，x趨于無窮(x→∞，x→+∞，x→-∞)時函數的極限。

　　(4)函數極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。

　　(5)無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關系，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。

　　(6)兩個重要極限。

　　2.要求

　　(1)了解極限的概念，能根據極限概念分析函數的變化趨勢。了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

　　(2)熟練掌握用極限的四則運算法則求極限的方法，理解極限的有關性質。

　　(3)了解無窮小量、無窮大量的概念，了解無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。了解無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等階)。

　　(4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

　　(三)連續(xù)

　　1.知識范圍

　　(1)函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)的定義，函數的間斷點。

　　(2)函數在一點處連續(xù)的性質：連續(xù)函數的四則運算，復合函數的連續(xù)性，反函數的連續(xù)性。

　　(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點定理)。

　　2.要求

　　(1)理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，會判斷簡單函數(含分段函數)在一點的連續(xù)性，理解函數在一點連續(xù)與極限存在的關系。

　　(2)會求函數的間斷點(含分段函數)。

　　(3)理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質，會運用介值定理(包括零點定理)推證一些簡單命題。

　　(4)了解連續(xù)函數的性質及初等函數在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會利用連續(xù)性求極限。

　　二、一元函數微分學

　　(一)導數與微分

　　1.知識范圍

　　(1)導數概念：導數的定義、導數的幾何意義、可導與連續(xù)的關系。

　　(2)求導法則與導數的基本公式：導數的四則運算、基本初等函數的導數公式。

　　(3)求導方法：復合函數的求導法、隱函數的求導法、對數求導法。

　　(4)高階導數的概念：高階導數的定義，高階導數的計算。

　　(5)微分：微分的定義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不變性。

　　2.要求

　　(1)理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系。掌握用定義求函數在一點處導數的方法。

　　(2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

　　(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數求導法則。會求反函數的導數。

　　(4)掌握隱函數求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數。

　　(5)了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

　　(6)理解函數的微分概念，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

　　(二)微分中值定理及導數的應用

　　1.知識范圍

　　(1)中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西()中值定理。

　　(2)洛必達(L’Hospital)法則。

　　(3)函數增減性的判定法。

　　(4)函數極值與極值點，最大值與最小值。

　　(5)曲線的凹凸性、拐點。

　　(6)曲線的漸近線。

　　(7)曲率。

　　(8)簡單的函數圖形。

　　2.要求

　　(1)理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義，會用拉格朗日中值定理證明某些簡單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。

　　(2)熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

　　(3)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調區(qū)間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。

　　(4)理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大(小)值的方法，并且會解簡單的應用問題。

　　(5)會用導數判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

　　(6)會求曲線的漸近線。

　　(7)了解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

　　(8)會作出簡單的函數圖形。

　　三、一元函數積分學

　　(一)不定積分

　　1.知識范圍

　　(1)不定積分的概念：原函數與不定積分的定義，原函數存在定理，不定積分的性質。

　　(2)基本初等函數的積分公式。

　　(3)換元積分法：第一換元法(湊微分法)，第二換元法。

　　(4)分部積分法。

　　(5)一些簡單有理函數的積分。

　　2.要求

　　(1)理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理。

　　(2)掌握基本初等函數的不定積分公式。

　　(3)熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

　　(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

　　(5)會求簡單有理函數的不定積分。

　　(二)定積分

　　1.知識范圍

　　(1)定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義。

　　(2)定積分的性質。

　　(3)定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨(Newton - Leibniz)公式，換元積分法，分部積分法。

　　(4)廣義積分的概念。

　　(5)定積分在幾何上的應用：平面圖形的面積、旋轉體的體積、已知平行截面面積的立方體體積，平面曲線的弧長。

　　2.要求

　　(1)理解定積分的概念與幾何意義，了解函數可積的條件。

　　(2)掌握定積分的基本性質。

　　(3)理解變上限的定積分的含義，掌握對變上限定積分求導數的方法。

　　(4)熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

　　(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

　　(6)理解廣義積分，根據定義會求一些簡單的廣義積分。

　　(7)理解用元素法將實際問題表達成定積分的分析方法。

　　(8)掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積、旋轉體的體積的計算方法，會求簡單的已知平行截面面積的立方體體積，會求平面曲線的弧長。

　　四、多元函數微積分學

　　(一)多元函數微分學

　　1.知識范圍

　　(1)空間直角坐標系。

　　(2)多元函數。

　　多元函數的定義、二元函數的幾何意義、二元函數極限與連續(xù)的概念。

　　(3)偏導數與全微分

　　偏導數、全微分、二階偏導數

　　(4)復合函數的偏導數

　　(5)隱函數的偏導數

　　(6)二元函數的無條件極值與條件極值

　　2.要求

　　(1)了解空間直角坐標系的概念，會求空間兩點間的距離。

　　(2)了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義、會求二元函數的表達式與定義域。了解二元函數的極限與連續(xù)的概念。

　　(3)理解偏導數的概念，了解偏導數的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

　　(4)掌握二元函數的一、二階偏導數的計算方法。

　　(5)掌握復合函數一、二階偏導數的求法。

　　(6)會求多元函數的全微分。

　　(7)掌握由方程所確定的隱函數的一階偏導數的計算方法。

　　(8)會求多元函數的無條件極值，會用拉格朗日數乘法求多元函數的條件極值。

　　(二)二重積分

　　1.知識范圍

　　(1)二重積分的概念

　　二重積分的定義、二重積分的幾何意義

　　(2)二重積分的性質

　　(3)二重積分的計算

　　(4)二重積分的應用

　　2.要求

　　(1)了解二重積分的概念與基本性質，理解二重積分的幾何意義。

　　(2)掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，能夠根據積分域和被積函數的特點選擇坐標系和積分次序，能正確地定出二次積分的積分限。

　　(3)會用二重積分解決簡單的積分問題。

　　五、無窮級數

　　(一)數項級數

　　1.知識范圍

　　(1)數項級數

　　數項級數的概念、級數的收斂與發(fā)散、級數的基本性質、級數收斂的必要條件

　　(2)正項級數收斂性的判別法

　　比較判別法、比值判別法、

　　(3)任意項級數

　　交錯級數、絕對收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法

　　2.要求

　　(1)理解級數的收斂與發(fā)散、收斂級數的和的概念。

　　(2)掌握級數的基本性質和級數收斂的必要條件，掌握幾何級數和P——級數的收斂性，掌握正項級數的比較判別法和比值判別法，了解級數的根式判別法。

　　(3)掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關系。

　　(二)冪級數

　　1.知識范圍

　　(1)冪級數的概念

　　收斂半徑、收斂區(qū)間

　　(2)冪級數的基本性質

　　(3)將簡單的初等函數展開成冪級數

　　2.要求

　　(1)了解冪級數的概念。

　　(2)掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。

　　(3)了解冪級數的基本性質(和函數的連續(xù)性，逐項微分和逐項積分)。

　　(4)掌握幾個常用初等函數的麥克勞林展開式，并會利用這些展開式將一些簡單函數間接展開成冪函數。

　　六、常微分方程

　　一階微分方程

　　1.知識范圍

　　(1)微分方程的概念

　　微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解

　　(2)可分離變量的微分方程

　　(3)一階線性微分方程

　　2.要求

　　(1)理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解

　　(2)掌握可分離變量的微分方程的解法。

　　(3)掌握一階線性微分方程解法。

　　第三部分：參考教材

　　1. 《高等數學》(上、下冊)(第四、五、六、七版)同濟大學數學教研室編，高等教育出版社

　　2. 《微積分》 馬軍 許成鋒 主編，北京理工大學出版社